Prof. Alberto Bononi          Ufficio: palazzina 2 sede scientifica, stanza 2/19T          Tel.: 0521 905760           alberto.bononi@unipr.it

Il corso si propone di fornire allo studente una conoscenza di base della teoria della probabilita', con applicazioni all'ingegneria.

Lunedi 14:30-16:30 Aula P; Martedi 10:30-12:30 Aula O

Programma (ogni lezione: 2 ore)

LEZIONE 1: Presentazione del corso. Una panoramica sui contenuti. Introduzione ai concetti di base ed alla terminologia della teoria della probabilita': l'esperimento del lancio del dado. Istogramma. Frequenza relativa. Regolarita' statistica. Spazio campione ed eventi. Richiami sulla teoria degli insiemi, ed applicazione agli eventi.

LEZIONE 2: Probabilia' e suoi assiomi. Probabilta' come misura. Conseguenze elementari degli assiomi. Spazi equiprobabili e uso del calcolo combinatorio. Principio di analisi combinatoria.

LEZIONE 3: Calcolo combinatorio: disposizioni, permutazioni, combinazioni. I coefficienti binomiale e multinomiale. Esempi di calcolo della probabilita' in spazi equiprobabili. Probabilita' condizionata. Esempi.

LEZIONE 4: Esempi sulla probabilita' condizionata. Note sugli spazi composti. Regola della catena, Teorema della probabilita' totale (PT). Formula di Bayes. Esempi. Indipendenza. Esempi.

LEZIONE 5: Esercizi sulle lezioni 1-4.

LEZIONE 6: Prove ripetute. Esempi. Esperimenti in spazi continui: i) equiprobabili; ii) non equiprobabili. La densita' di probabilita' (PDF) per definire la funzione probabilita'. Esempi.

LEZIONE 7: Proprieta' della PDF e la sua primitiva: la CDF. Spazi discreti visti come continui: l'impulso di Dirac e sue proprieta'. Esempi d'uso. Esempio di uso della PDF in spazi uniformi bidimensionali.

LEZIONE 8: Variabili aleatorie: definizione. Esempi. La CDF di una VA. Proprieta' della CDF. Classificazione di VA.

LEZIONE 9: La PDF di una VA come derivata della CDF. Proprieta'. Esempi di VA continue: distribuzione gaussiana, esponenziale, uniforme. VA discrete: la PMF. Esempi di VA discrete: Poisson, Bernoulli.

LEZIONE 10: Esempi di VA discrete: Binomiale, Binomiale negativa, Pascal. Funzione di VA. Esempi. Teorema fondamentale. Esempi.

LEZIONE 11: Esercizi sul teorema fondamentale. Valor medio per VA discrete e continue. Indicatori. Proprieta' della media.

LEZIONE 12: Media di funzione di VA: teorema dell'aspettazione. linearita' della media. Varianza. Disuguaglianze di Markov e Chebychev. Momenti. Momenti di VA gaussiana.

LEZIONE 13: Funzioni MGF e caratteristica. Teorema dei momenti. Esempi di calcolo della MGF. CDF/PDF condizionate ad un evento. Esempi sull'affidabilita'.

LEZIONE 14: La formula della PT per CDF, per PMF, per la media, e per media di funzione di VA. Formula di Bayes mista e versione continua della PT. Verifica delle ipotesi. Esempio con elementi di teoria della decisione.

LEZIONE 15: Vettori aleatori. Coppie di VA. CDF congiunta. Proprieta'. CDF congiunta per VA discrete.PMF congiunta e marginali. L'integrale bidimensionale: richiami. VA congiuntamente continue e PDF congiunta. PDF marginali dalla congiunta. Esempi di calcolo con VA cong. continue tramite integrali sul piano.

LEZIONE 16: Esempi: VA cong. gaussiane. Estensioni: sistemi di VA. Indipendenza. Indipendenza di funzioni di VA. Finzioni di coppie di VA. Esempi: i) max(X,Y) ii) X+Y. La convoluzione. Somme di VA indipendenti e gaussianita'.

LEZIONE 17: Trasformazioni di coppie di VA. Teorema fondamentale. Esempio. Variabile ausiliaria. Esempio. CDF/PDF di VA condizionata a un'altra VA. Esempi.

LEZIONE 18: Estensioni a sistemi di n VA. Regole di eliminazione. Medie congiunte. Teorema dell'aspettazione (TA) per coppie di VA. Medie condizionate. Teorema della media condizionata (TMC). Generalizzazioni ed estensioni a n VA.

LEZIONE 19: Esercizi ricapitolativi sulle lezioni 8-18.

LEZIONE 20: Applicazioni di TA e TMC: linearita' dell'operatore valor medio. Esempio: media campione. Somma aleatoria di VA indipendenti. Disuguaglianza di Schwartz. Correlazione. Indipendenza e incorrelazione. Covarianza e sua bilinearita'. Varianza di una somma. Varianza della media campione. Interpretazione statistica e legge dei grandi numeri. Interpretazione statistica di covarianza. Coefficiente di correlazione.

LEZIONE 21: Esempio: calcolo correlazione di VA cong. continue. Generalizzazione a n VA. Matrici di correlazione e covarianza. Proprieta'. Vettori gaussiani.

LEZIONE 22: Stima ottima in media quadratica. Esempio per VA gaussiane. PGF di somme di VA indipendenti. Esempi: Poisson, Gamma, Erlang, Chi-quadro, eventi rari, punti di Poisson.

LEZIONE 23: MGF/CF: estensioni a n VA. Trasformazioni lineari di VA gaussiane. Teorema del limite centrale. Teorema di De-Moivre Laplace. Esempi.

A. Bononi, G. Ferrari: " Introduzione a Teoria della Probabilita' e Variabili Aleatorie con applicazioni all'ingengeria e alle scienze" Esculapio, Bologna, 2008.

Disponibile presso: Libreria S. Croce V. Gramsci [0521-290 213], Libreria Medico Scientifica - Via D'Azeglio [0521-234 593], Libreria Universitas V. Grossardi [0521-201 113], oppure online su www.editrice-esculapio.it

L'esame consiste in una prova scritta, di durata 3 ore (I compitini durano anch'essi 3 ore). Il voto dello scritto, se non inferiore al 18, viene registrato come voto finale dell'esame, salvo casi particolari, a discrezione del docente, in cui può essere richiesta una prova orale integrativa. Il voto dello scritto vale SOLO per la prova d'esame in cui è stato ottenuto, e va registrato PRIMA della data dello scritto successivo.

Informazioni per gli scritti (inclusi i compitini):
Allo scritto si può portare:
1) calcolatrice; 2) 1 (solo) foglio A4 con formule 3) materiale essenziale di cancelleria.
QUALUNQUE altro materiale deve essere riposto nelle borse (ricordatevi di spegnere i vostri telefoni cellulari) e lasciato in fondo all'aula. Non sono ammessi fogli di alcun genere oltre al foglio A4 delle formule. E' ammesso scrivere un compito a matita. E' necessario avere un documento di riconoscimento ufficiale con fotografia (Libretto universitario, o, in subordine, la carta di identita'). Non e' consentito di norma uscire dall'aula prima di aver consegnato il compito.

Suggerimenti per lo scritto:
a) Scrivere subito cognome, nome e numero di matricola su tutti i fogli che vi verranno consegnati. Il docente passera' poi tra i banchi per prendere nota della vostra identita', e per siglare i vostri fogli.
b) Scrivere BELLA sul foglio (o sui fogli) di bella, e BRUTTA su quelli di brutta; alla consegna inserire TUTTI i fogli di brutta dentro quelli di bella (tutti i fogli consegnati e siglati dal docente DEVONO essere restituiti);
c) Scrivere in modo chiaro, ordinato e leggibile;
d) Giustificare i passaggi matematici, dire cioe' quali teoremi si stanno usando e perche'. Un compito corretto senza giustificazione delle formule usate viene penalizzato;
e) Concludere gli esercizi con il calcolo dei risultati numerici. Risultati corretti ma lasciati in forma simbolica valgono meno.
f) Tutti gli esercizi di norma hanno lo stesso valore. In caso contrario, saranno riportati i punti corrispondenti ad ogni esercizio.

Copiare o consultarsi con altri sono considerate gravi violazioni del codice etico e verranno severamente punite. Per i compitini, il docente puo' chiedervi di lasciare l'aula e perderete il privilegio di sostenere i successivi compitini. Per gli scritti ordinari, il docente puo' chiedervi di lasciare l'aula e di non presentarvi ai successivi due appelli.

Martedì 12:30-13:30 in ufficio (vedi sopra).