\documentclass[12pt]{article}
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\author{R. Pighi}


\begin{document}
\begin{center}
\begin{LARGE}
\textbf{Introduzione agli equalizzatori}
\end{LARGE}
\end{center} 
\begin{center}
\begin{small}
R. Pighi
\end{small}
\end{center} 
\vspace{1cm}
\section{Introduzione}
Indipendentemente dalla forma dell'impulso formante con cui viene creata la forma d'onda da trasmettere sul canale e dalla forma dell'impulso del filtro di ricezione, una certa quantit\`a di interferenza intersimbolica rimane sempre nel segnale in uscita dal filtro di ricezione e dal campionatore. Tale ISI residua \`e legata al progetto imperfetto di tali filtri, al fatto che il canale abbia caratteristiche tempo varianti, etc...
Consideriamo quindi il segnale ricevuto
$$
y(t) = \sum a_k p(t - k T) + n(t)
$$
dove $T$ \`e l'intervallo di segnalazione, $p(t)$ l'impulso complessivo (cascata di impulso di trasmissione e impulso di ricezione), $\{a_k\}$ la sequenza di informazione e $n(t)$ un processo di rumore tempo continuo Gaussiano bianco.
Supponiamo inoltre che $p(t)$ sia un impulso non di Nyquist: dopo il campionatore a frequenza di simbolo otteniamo
$$
y_k = y(kT) = a_k + n_{\textrm{ISI}} + n_k
$$
dove $a_k$ \`e il simbolo di informazione trasmesso, $n_{\textrm{ISI}}$ \`e la parte di segnale che comprende l'ISI residua e $n_k$ \`e il campione di rumore (in generale correlato).

Il termine $n_{\textrm{ISI}}$, in particolare, \`e una variabile casuale che dipende da come l'impulso $p(t)$ risulta essere distorto e pu\`o dipendere dai valori $a_k$ precedenti e futuri rispetto al campione relativo all'istante di campionamento. Possiamo supporre che  $n_{\textrm{ISI}}$ sia una variabile casuale gaussiana, a media nulla e varianza $\sigma_{\textrm{ISI}}^2$, indipendente da $n_k$. Allora la variabile casuale $n_{\textrm{ISI}} + n_k$ risulta essere ancora gaussiana, a media nulla e varianza $\sigma_{\textrm{TOT}}^2=\sigma_{\textrm{ISI}}^2 + \sigma_{n}^2$. Poich\'e si vuole ridurre la probabilit\`a d'errore, e quindi massimizzare il rapporto tra la potenza di segnale e quella di rumore, occorre avere $\sigma_{\textrm{TOT}}^2$ piccolo, quindi si deve minimizzare la varianza di $n_{\textrm{ISI}}$.

\begin{figure}
\begin{center}
\mbox{\input{cap2_8.pstex_t}}
\end{center}
\caption{Equalizzatore lineare a coefficienti variabili con $2N+1$ prese.}
\label{cap2_8}
\end{figure}
Quindi in generale, o prima del campionatore (equalizzatore analogico) o dopo il campionatore (equalizzatore numerico), viene introdotto un filtro con il compito di ridurre l'interferenza intersimbolica presente sul segnale. Tale filtro \`e mostrato in figura~\ref{cap2_8}.
Il filtro mostrato in figura ha $2N+1$ ``prese'' ed \`e un equalizzatore analogico: i coefficienti $c_i$ sono i pesi dell'equalizzatore. La risposta all'impulso di questo filtro risulta essere
$$
h(t) = c_{-N}\delta(t) + c_{-N+1}\delta(t - T) + \dots +c_N\delta(t - 2NT) \,.
$$
Il segnale equalizzato, in assenza di rumore, risulta essere
$$
p_{eq}(t) = \sum_{n=-N}^{N} c_n p ( t - nT - N T) \,.
$$

Se  l'impulso $p(t)$ \`e tale da non introdurre ISI, allora tutte le prese dell'equalizzatore sono nulle eccetto $c_0$, cio\`e l'unico effetto dell'equalizzatore \`e l'introduzione di un ritardo. Se invece $p(t)$ non \`e di Nyquist, allora occorre determinare i pesi $c_i$ in maniera tale da \textit{forzare a zero} i campioni di interferenza intersimbolica residui.
Occorre quindi determinare i coefficienti in maniera tale che
\begin{equation}
p_{eq}(kT + NT) = \left\{ \begin{array}{ll}
 1 & \textrm{se $k=0$} \\
 0 & \textrm{se $k \ne 0$.}
 \end{array} \right.
\label{zf}
\end{equation}

\section{Progetto di un equalizzatore}
Se quindi campioniamo l'impulso equalizzato, otteniamo
$$
p_{eq}(kT + NT) = \sum_{n=-N}^N c_n p ( kT + NT - nT - NT) = \sum_{n=-N}^N c_n p_{k-n}
$$
cio\`e otteniamo la convoluzione discreta tra i campioni del filtro di equalizzazione ed i campioni dell'impulso $p(t)$. Dalla conoscenza dei campioni $p_{k-n}$, determiniamo i campioni dell'equalizzatore. Teoricamente vorremmo ottenere infiniti zeri ed un valore massimo in coincidenza dell'istante di campionamento. Poich\'e per\`o abbiamo a disposizione solo $2N+1$ valori di $c_n$, riusciremo solo ad avere $2N$ zeri. Riusciremo quindi a non avere ISI solo per un certo numero di campioni intorno all'istante di campionamento.

Per ottenere i pesi dell'equalizzatore, occorre risolvere il semplice sistema lineare ottenuto imponendo la condizione (\ref{zf}):
$$
\left\{ \begin{array}{ll}
c_{-N} p_0 + c_{-N+1} p_{1} + \dots + c_N p_{2N} = 0\\
\vdots \\
c_{-N} p_N + c_{-N+1} p_{N-1} + \dots + c_N p_{N} = 1\\
\vdots \\
c_{-N} p_{2N} + c_{-N+1} p_{2N-1} + \dots + c_N p_{0} = 0 \,.
 \end{array} \right.
$$\vspace{1cm}
Nell'esempio successivo si presenta il progetto di un equalizzatore numerico.
\vspace{1cm}
\begin{tabular}{|p{13.25cm}|}
\hline
\textbf{ESERCIZIO:} Un segnale PAM ha espressione $x(t)= \sum_{k=0}^\infty a_k p(t - k T)$. I simboli $a_k$, equiprobabili ed indipendenti, appartengono all'alfabeto $\{\pm 1\}$, mentre l'impulso $p(t)$ ha trasformata di Fourier
a radice di coseno rialzato, con \textit{roll-off} uguale a $0.5$ e con intervallo di segnalazione $T=9 \cdot 10^{-5}$ s. Si vuole trasmettere il segnale su un canale affetto da rumore Gaussiano bianco additivo, con densit\`a spettrale di potenza $N_0/2$.
\begin{itemize}
\item Ipotizzando infine che il canale di trasmissione abbia funzione di trasferimento pari a
\begin{displaymath}
H(f)=  \left\{ \begin{array}{ll}
1 + 0.3 e^{-\jmath 2 \pi f T} & \textrm { se $|fT| \le \frac{1}{2}$} \\
0 & \textrm { altrim.}
 \end{array} \right.
\end{displaymath}
al fine di ridurre il pi\`u possibile l'interferenza intersimbolica introdotta, dimensionare un equalizzatore a 3 prese.
\end{itemize} \\
\hline
\end{tabular}

\textbf{SOLUZIONE:} La risposta in frequenza del canale risulta essere perci\'o
$$
H(f) =  1 + 0.3 e^{-\jmath 2 \pi f T} \quad |fT| \le \frac{1}{2}
$$ 
da cui \`e possibile ricavare la risposta all'impulso del canale
$$
h(t) = \delta(t) + 0.3 \delta(t - T)\,.
$$
Come stadio di ricezione, consideriamo un ricevitore a filtro adattato all'impulso di tipo a radice di coseno rialzato e campionatore a frequenza di simbolo.
L'impulso $g(t)$ all'uscita del filtro di ricezione avr\`a spettro del tipo
$$
G(f) = P^2(f) [1 + 0.3 e^{-\jmath 2 \pi f T}]
$$
e quindi l'impulso $g(t)$ risulter\`a essere
$$
g(t) = p_{CR}(t) + 0.3 p_{CR}(t - T)
$$
dove con $p_{CR}(t)$ si \`e indicato l'impulso complessivo a coseno rialzato: supponiamo inoltre che $p_{CR}(0)=1$. All'uscita del campionatore a intervalli $t=kT$ otteniamo l'impulso discreto
$$
g_k = g(t = kT) = p_{CR}(kT) + 0.3 p_{CR}[(k-1)T]
$$
per cui il segnale su cui effettuare la decisione risulta essere
$$
r_k = a_k + 0.3 a_{k-1} \, .
$$
Dimensioniamo quindi un equalizzatore a 3 prese. L'impulso $q(t)$ all'uscita dell'equalizzatore pu\`o essere espresso come
$$
q(t) = c_0 g(t) + c_1 g(t-T) + c_2 g(t - 2T)
$$
dove $c_0, c_1, c_2$ sono i coefficienti delle prese dell'equalizzatore. Abbiamo quindi
\begin{eqnarray}
q(kT) &=& c_0 g(kT) + c_1 g[(k-1)T] + c_2 g[(k-2)T] \nonumber \\
&=& c_0[\delta_k + 0.3\delta_{k-1}] + c_1[\delta_{k-1} + 0.3\delta_{k-2}] + c_2[\delta_{k-2} + 0.3\delta_{k-3}]\,.
\label{eq1}
\end{eqnarray} 
Imponendo le condizioni
\begin{displaymath}
\left\{ \begin{array}{ll}
q(0) = 0 \\
q(1) = 1 \\
q(2) = 0
 \end{array} \right.
\end{displaymath}
si ottiene
\begin{eqnarray}
q(0) &=& c_0 g(0) + c_1 g[(0-1)T] + c_2 g[(0-2)T] \nonumber \\
q(T) &=& c_0 g(T) + c_1 g[(1-1)T] + c_2 g[(1-2)T] \nonumber \\
q(2T) &=& c_0 g(2T) + c_1 g[(2-1)T] + c_2 g[(2-2)T] \,.
\label{eq2}
\end{eqnarray}
Infine, sostituendo nella (\ref{eq2}) i campioni dell'impulso $g(kT)$, si ottiene il sistema
\begin{displaymath}
\left\{ \begin{array}{ll}
c_0 = 0 \\
c_0 0.3 + c_1 = 1 \\
c_1 0.3 + c_2 = 0
 \end{array} \right.
\end{displaymath}
la cui risoluzione porta ad avere
\begin{displaymath}
\left\{ \begin{array}{ll}
c_0 = 0 \\
c_1 = 1 \\
c_2 = -0.3 \,.
 \end{array} \right.
\end{displaymath}



\end{document} 
