Introduzione

Indipendentemente dalla forma dell'impulso formante con cui viene creata la forma d'onda da trasmettere sul canale e dalla forma dell'impulso del filtro di ricezione, una certa quantità di interferenza intersimbolica rimane sempre nel segnale in uscita dal filtro di ricezione e dal campionatore. Tale ISI residua è legata al progetto imperfetto di tali filtri, al fatto che il canale abbia caratteristiche tempo varianti, etc... Consideriamo quindi il segnale ricevuto

$$y(t) = \sum a_k p(t - k T) + n(t)$$

dove $T$ è l'intervallo di segnalazione, $p(t)$ l'impulso complessivo (cascata di impulso di trasmissione e impulso di ricezione), $\{a_k\}$ la sequenza di informazione e $n(t)$ un processo di rumore tempo continuo Gaussiano bianco. Supponiamo inoltre che $p(t)$ sia un impulso non di Nyquist: dopo il campionatore a frequenza di simbolo otteniamo

$$y_k = y(kT) = a_k + n_{\textrm{ISI}} + n_k$$

dove $a_k$ è il simbolo di informazione trasmesso, $n_{\textrm{ISI}}$ è la parte di segnale che comprende l'ISI residua e $n_k$ è il campione di rumore (in generale correlato).

Il termine $n_{\textrm{ISI}}$ , in particolare, è una variabile casuale che dipende da come l'impulso $p(t)$ risulta essere distorto e può dipendere dai valori $a_k$ precedenti e futuri rispetto al campione relativo all'istante di campionamento. Possiamo supporre che $n_{\textrm{ISI}}$ sia una variabile casuale gaussiana, a media nulla e varianza $\sigma_{\textrm{ISI}}^2$ , indipendente da $n_k$ . Allora la variabile casuale $n_{\textrm{ISI}} + n_k$ risulta essere ancora gaussiana, a media nulla e varianza $\sigma_{\textrm{TOT}}^2=\sigma_{\textrm{ISI}}^2 + \sigma_{n}^2$ . Poiché si vuole ridurre la probabilità d'errore, e quindi massimizzare il rapporto tra la potenza di segnale e quella di rumore, occorre avere $\sigma_{\textrm{TOT}}^2$ piccolo, quindi si deve minimizzare la varianza di $n_{\textrm{ISI}}$ .

Figura: Equalizzatore lineare a coefficienti variabili con $2N+1$ prese.

Quindi in generale, o prima del campionatore (equalizzatore analogico) o dopo il campionatore (equalizzatore numerico), viene introdotto un filtro con il compito di ridurre l'interferenza intersimbolica presente sul segnale. Tale filtro è mostrato in figura . Il filtro mostrato in figura ha $2N+1$ ``prese'' ed è un equalizzatore analogico: i coefficienti sono i pesi dell'equalizzatore. La risposta all'impulso di questo filtro risulta essere

Il segnale equalizzato, in assenza di rumore, risulta essere

Se l'impulso $p(t)$ è tale da non introdurre ISI, allora tutte le prese dell'equalizzatore sono nulle eccetto , cioè l'unico effetto dell'equalizzatore è l'introduzione di un ritardo. Se invece $p(t)$ non è di Nyquist, allora occorre determinare i pesi in maniera tale da forzare a zero i campioni di interferenza intersimbolica residui. Occorre quindi determinare i coefficienti in maniera tale che